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David Hilbert (AFI: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]; Königsberg, 23 gennaio 1862 – Gottinga, 14 febbraio 1943) è stato un matematico tedesco.

Tra i più eminenti ed influenti mwbqmatematici a cavallo del mwbgXIX e mwbwXX secolo, diede contributi fondamentali in svariati ambiti della matematica teorica: dall'mwcaalgebra astratta (con lo sviluppo della teoria dell'invariante e l'inaugurazione dell'mwcqalgebra commutativa), all'mwcganalisi funzionale (con gli apporti al mwcwcalcolo delle variazioni e la formulazione della mwdateoria spettrale per gli mwdqoperatori nelle mwdgequazioni integrali), alla mwdwteoria algebrica dei numeri ed alla mweageometria (con la mweqsistematizzazione assiomatica della mweggeometria euclidea).

S'interessò inoltre delle problematiche legate ai mwfafondamenti della matematica, impegnandosi nell'elaborazione d'un mwfqprogramma mwfgformalistico che, per quanto sconfessato dalla successiva dimostrazione del mwfwsecondo teorema di incompletezza di Gödel, ebbe comunque una certa influenza sullo sviluppo delle moderne mwgateoria della dimostrazione e mwgqmatematica inversacite-ref-1[1]cite-ref-2[2].

• Biografia

• Contributi scientifici

• Il teorema di finitezza

• Assiomatizzazione della geometria

• I ventitré problemi

• Spazi di Hilbert

• Le equazioni di campo della fisica

• Aneddoti

• Riconoscimenti

• Onorificenze

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Si diplomò al mwjqliceo della sua città natale, iscrivendosi poi all'mwjgUniversità di Königsberg. Ottenne il dottorato con mwjwLindemann, nel mwka1885, con la tesi mwkqÜber invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen (trad.: mwkgSulle proprietà invarianti di speciali forme binarie, in particolare le mwkwarmoniche sferiche). Nello stesso periodo era studente di dottorato nella stessa università anche mwlaHermann Minkowski: a lui sarà legato da profonda amicizia e i due avranno modo di influenzarsi reciprocamente in vari momenti dei loro percorsi scientifici.

Hilbert rimase all'Università di Königsberg come docente dal mwlg1886 al mwlw1895, quando, in seguito all'interessamento di mwmaFelix Klein, ottenne la cattedra di Matematica nella prestigiosa mwmqUniversità di Gottinga, all'epoca una delle massime sedi di riferimento per lo studio della mwmgmatematica. Qui restò fino alla fine della sua carriera.

Egli ebbe come studenti di dottorato decine di importanti matematici: tra questi mwnaWilhelm Ackermann, mwnqSergej Bernstein, mwngRichard Courant, mwnwGerhard Gentzen, Alfred Haar, mwoqGeorg Hamel, Erich Hecke, mwowOtto Neugebauer, mwpaHugo Steinhaus, Teiji Takagi, mwpgHermann Weyl. Tra gli studenti di Hilbert vi fu anche mwpwEmanuel Lasker, successivamente campione del mondo di mwqascacchi; fu relatore della tesi di mwqqUgo Napoleone Giuseppe Broggi.

Il primo lavoro di Hilbert sulle funzioni invarianti lo portò a dimostrare nel 1888 il suo famoso mwrgmwrwteorema di finitezza. Vent'anni prima mwsaPaul Gordan aveva dimostrato il mwsqteorema della finitezza dei generatori per le forme binarie usando un complesso approccio computazionale. I tentativi di generalizzare questo metodo per funzioni con più di due variabili fallirono, proprio a causa delle difficoltà di calcolo. Lo stesso Hilbert cercò all'inizio di seguire il sistema di Gordan, ma ben presto capì di dover intraprendere una strada del tutto diversa. Dimostrò così il mwsgteorema di finitezza di Hilbert: un metodo per dimostrare che esiste un mwswinsieme di generatori finito per un numero di variabili qualsiasi, ma in forma totalmente astratta: pur dimostrandone l'esistenza, non si fornisce nessun procedimento che permetta di costruirlo.

Hilbert inviò il suo lavoro ai mwtqMathematische Annalen. Paul Gordan, l'esperto sulla teoria degli invarianti per i mwtgMathematische Annalen, non riuscì ad apprezzare il rivoluzionario teorema di Hilbert e rifiutò l'articolo, criticandone l'esposizione, a suo dire poco esaustiva. Il suo commento fu:

mwuqQuesta è mwugteologia, non mwuwmatematica!

Tuttavia mwvqFelix Klein riconobbe l'importanza del lavoro di Hilbert, e gli garantì la pubblicazione, senza alcun cambiamento. Spronato da Klein e dai commenti di Gordan, Hilbert in un secondo articolo estese il suo metodo, fornendo stime sul grado massimale dell'insieme minimo dei generatori, e lo inviò di nuovo agli mwvgAnnalen. Dopo aver letto il manoscritto, Klein gli scrisse:

mwwqSenza dubbio questo è il lavoro più importante sull'algebra generale che gli Annalenmwwg abbiano mai pubblicato.

Più tardi, dopo che l'utilità del metodo di Hilbert fu universalmente riconosciuta, lo stesso Gordan ebbe a dire:

mwxgDebbo ammettere che anche la teologia ha i suoi pregi.

A proposito dell'atteggiamento di Gordan va anche detto che l'approccio astratto di Hilbert, oltre agli indubbi meriti dell'economia di pensiero e della generalità, ebbe l'effetto di togliere prestigio e interesse agli studi costruttivi sugli invarianti; questi studi solo dopo la metà del XX secolo ripresero vigore portando a fondamentali aperture, in particolare nell'ambito della mwyacombinatoria.

Il testo mwzaGrundlagen der Geometrie (in italiano: mwzqFondamenti della Geometria), pubblicato da Hilbert nel mwzg1899, sostituisce agli mwzwassiomi di Euclide un insieme formale, composto di 20 assiomi, che evitano le contraddizioni derivanti da quello di mwaaEuclide. Indipendentemente e contemporaneamente, uno studente mwaqstatunitense di 19 anni, mwagRobert Lee Moore, pubblicò un insieme di assiomi equivalenti. È interessante notare che, sebbene alcuni assiomi siano gli stessi, qualche mwawassioma di Moore è un teorema nel sistema di Hilbert, e viceversa.

Hilbert utilizza concetti indefiniti e specifica le loro proprietà esclusivamente tramite gli assiomi; non è necessario assegnare alcun significato esplicito ai concetti indefiniti. Questi elementi, mwbqpunto, mwbgretta, mwbwpiano e altri, potrebbero essere sostituiti, come dice Hilbert, da tavoli, sedie, boccali da birra e altri oggetti. Naturalmente, se la geometria tratta di "cose", gli assiomi non sono certo verità evidenti in sé, ma devono essere considerati arbitrari. Hilbert dapprima enumera i concetti indefiniti; essi sono: punto, retta, piano, mwcagiacere su (una relazione fra punto e piano), mwcqstare fra, congruenza di coppie di punti, e mwcgcongruenza di mwcwangoli. Il sistema di assiomi riunisce in un solo insieme la geometria euclidea piana e solida.

Dopo avere brillantemente riorganizzato i fondamenti della geometria, Hilbert si accinse a fare lo stesso per l'intera matematica. Riconoscendo l'impresa come superiore alle sue sole forze, espose in modo organico alla comunità dei matematici quelli che riteneva i problemi più cruciali. Per amor di concisione, alla conferenza Hilbert espose un primo insieme di soli 9 problemi, dal titolo "I Problemi della Matematica" presentato nel corso del Secondo Congresso Internazionale di Matematica tenutosi a mwdwParigi nell'agosto del mwea1900. I restanti furono pubblicati negli atti del Congresso.

Ecco l'introduzione del discorso tenuto da Hilbert:cite-ref-3[3]

mwgaChi di noi non sarebbe felice di sollevare il velo dietro cui si nasconde il futuro; di gettare uno sguardo ai prossimi sviluppi della nostra scienza e ai segreti del suo sviluppo nei secoli a venire? Quali saranno le mete verso cui tenderà lo spirito delle future generazioni di matematici? Quali metodi, quali fatti nuovi schiuderà il nuovo secolo nel vasto e ricco campo del pensiero matematico?

In una successiva pubblicazione ampliò la panoramica dei problemi aperti e giunse a formulare i famosi 23 mwggProblemi di Hilbert. Alcuni di questi, anche alcuni reputati molto difficili, furono risolti di lì a breve, altri furono ampiamente dibattuti durante l'intero mwgwXX secolo, e altri, di cui alcuni fondamentali, furono poi dimostrati come indecidibili, cioè senza possibile soluzione.

Con questa iniziativa Hilbert diede il via alla mwhqscuola formalista, una delle tre scuole della matematica del mwhg1900. Secondo il formalismo la matematica è un gioco privo di significato in cui si gioca con contrassegni privi di significato secondo regole formali concordate in partenza. Essa è quindi un'attività autonoma del pensiero. (Cfr: mwhwHermann Hesse - mwiamwiqIl gioco delle perle di vetro).

Nonostante l'impegno profuso da Hilbert e dai numerosi valenti matematici che l'affiancarono nell'impresa, il suo tentativo di assiomatizzazione completa della matematica era destinato a fallire: nel mwiw1931 mwjaGödel con i suoi mwjqteoremi di incompletezza dimostrò come un mwjgsistema formale non contraddittorio, che comprenda almeno l'mwjwaritmetica, non può dimostrare, attraverso i suoi assiomi, la propria consistenza, e come conseguenza diretta alcuni dei 23 fondamentali problemi di Hilbert furono dimostrati come indecidibili.

Eppure Gödel ritenne positivamente risolto il proposito di Hilbert,cite-ref-4[4] anche se per una via opposta a quella immaginata da Hilbert, avendo paradossalmente dimostrato che la completezza di un sistema è tale proprio perché non può essere dimostrata.cite-ref-5[5] Ad ogni modo, la sua incontrovertibile dimostrazione tolse interesse alla riorganizzazione della completezza formale della matematica, e oggi si ritiene che questa debba essere considerata un sistema incompleto, in assenza di un'assiomatizzazione esterna valida.

Tra gli studenti di Hilbert vi furono mwmgHermann Weyl, il campione di scacchi mwmwEmanuel Lasker e mwnaErnst Zermelo. mwnqJohn von Neumann fu suo assistente. Attorno a lui, all'università di Göttingen, si raccolse un circolo a cui appartennero alcuni tra i più importanti matematici del XX secolo, quali mwngEmmy Nöther e mwnwAlonzo Church.

Sulla sua lapide, a Göttingen, si può leggere il seguente mwoqepitaffio:

(tedesco)

«Wir müssen wissen, wir werden wissen»

(italiano)

«Dobbiamo sapere, sapremo»

Per ironia della sorte, il giorno prima che Hilbert pronunciasse questa frase, mwpaKurt Gödel aveva presentato la sua tesi, con il suo famoso mwpqteorema di incompletezza: ci sono cose che potrebbero essere vere, ma che non possiamo dimostrare.

Circa nel 1909, Hilbert si dedicò allo studio delle mwqaequazioni differenziali ed mwqqintegrali: i suoi lavori portarono direttamente a importanti filoni della moderna mwqganalisi funzionale. Per questi suoi studi, Hilbert introdusse il concetto di spazio a infinite dimensioni, chiamato in seguito mwqwspazio di Hilbert. Oltre ad essere di grande utilità nello studio della mwrameccanica quantistica, gli permise di contribuire allo sviluppo della teoria cinetica dei mwrqgas e alla teoria della mwrgradiazione. In seguito, mwrwStefan Banach ampliò il concetto, definendo gli mwsaspazi di Banach, fondamento dell'assiomatizzazione della teoria delle funzioni integrali.

Un'opinione diffusa tra i matematici è che Hilbert scoprì le equazioni di campo per la teoria della mwswrelatività generale prima di mwtaAlbert Einstein, ma che non ne rivendicò mai la scoperta. Un interessante articolo pubblicato nel mwtq1997 su mwtgmwtwSciencecite-ref-6[6] mostra come Hilbert inviò il suo articolo il 20 novembre mwva1915, cinque giorni prima di quello di Einstein, con le equazioni corrette. L'articolo di Einstein uscì il 2 dicembre, quello di Hilbert il 6, ma senza le equazioni. Tuttavia, nella versione andata alle stampe, Hilbert aggiunse:

«Le equazioni differenziali della gravitazione ottenute mi sembrano in accordo con la magnifica teoria della relatività generale enunciata da Einstein nel suo ultimo articolo.»

Appare dunque evidente che Hilbert lesse l'articolo di Einstein, e aggiunse al suo il riconoscimento della priorità di Einstein.

Hilbert era un personaggio singolare: era donnaiolo e insofferente al conservatorismo della vita universitaria, alle regole e ai divieti sociali. Si racconta che, durante gli anni Venti, mentre mangiava al ristorante, chiedesse alle signore più eleganti di prestargli il loro boa piumato per ripararsi dagli spifferi.

Su di lui si raccontano moltissimi altri aneddoti.

Per esempio, si racconta che un suo studente gli portò una dimostrazione dell'mwwwipotesi di Riemann. Hilbert si mise a studiare la dimostrazione e restò impressionato; sfortunatamente vi trovò un errore cruciale che la invalidava. Poco dopo, quello studente morì. Hilbert presenziò al suo funerale e fu incaricato di redigere il discorso funebre. Iniziò col dire che quella morte era una perdita enorme per la mwxamatematica, ma che sperava che le linee guida della sua dimostrazione sarebbero state seguite da altri. "In effetti" - iniziò a dire sotto la pioggia, accanto alla tomba del defunto - "si consideri una mwxqfunzione di variabile complessa..."

Secondo un altro aneddoto, Hilbert sarebbe andato in giro per giorni con i pantaloni strappati, senza accorgersene, e questo creò molto imbarazzo in facoltà. Dopo un po' di tempo, il suo assistente Richard Courant decise di farglielo notare e, per farlo nel modo più delicato possibile, durante una passeggiata lo condusse attraverso dei cespugli spinosi, salvo fargli notare poco dopo che si era strappato i pantaloni. L'inaspettata risposta di Hilbert fu: "Oh no, sono così da settimane, ma nessuno se ne è accorto!".

Si racconta anche che, quando gli dissero che un suo studente aveva abbandonato l'università per diventare poeta, egli abbia risposto: "Non sono sorpreso. Non aveva abbastanza immaginazione per diventare un matematico".

Durante il periodo nazista, a causa delle leggi contro gli ebrei le università si svuotarono e tra esse quella di mwyqGottinga (in cui egli insegnava), storicamente tra le più avanzate nell’ambito della fisica quantistica. Quando il ministro nazista dell’istruzione gli chiese se fosse vero “che il suo istituto [aveva] tanto sofferto per la partenza degli ebrei e dei loro amici” egli rispose: “Sofferto? Non è che abbia sofferto, signor ministro. Non esiste più.”cite-ref-7[7]

• mw0q1905 - Menzione speciale dell'mw0gAccademia ungherese delle scienze

• mw1a1930 - La città di Königsberg, in occasione del pensionamento, gli conferisce la cittadinanza onoraria.

Gli è stato dedicato un mw1gasteroide, mw1w12022 Hilbert.

Medaglia dell'Ordine di Massimiliano per le Scienze e le Arti

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1907

cite-note-11. ↑ R. Zach, 2006. Hilbert's Program Then and Now. Philosophy of Logic 5:411–447, arXiv:math/0508572 [math.LO].

cite-note-22. ↑ mw4wZach, Richard, mw5qmw5gHilbert's Program, in mw5wStanford Encyclopedia of Philosophy, 31 luglio 2003. mw6aURL consultato il 23 marzo 2009.

cite-note-33. ↑ mw7aDavid Hilbert, mw7qMathemical Problems

cite-note-44. ↑ Gödel, mw8qÜber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, nota 15.

cite-note-55. ↑ Rebecca Goldstein, mw9qIncompletezza. La dimostrazione e il paradosso di Kurt Godel, Torino, Codice Edizioni, 2006 ISBN 88-7578-041-2.

cite-note-66. ↑ mw-gL. Corry, J. Renn, J. Stachel, mw-wBelated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute, in mw-aScience, n.mw-q 278, 14 novembre 1997.

cite-note-77. ↑ mwaqeManjit Kumar, mwaqiQuantum, Mondadori, 2017, p.mwaqm 289, mwaqqISBNmwaqu 978-88-04-60893-6.

• Umberto Bottazzini: mwaqoIl flauto di Hilbert. Storia della matematica - 2003, mwaqsUTET, ISBN 88-7750-852-3

• Costance Reid, mwaq4Hilbert Allen & Unwain-Springer, 1970

• mwaraMartin Davis mwareIl calcolatore universale Adelphi 2003

• John Derbyshire mwarmL'ossessione dei numeri primi Bollati Boringhieri 2006 ISBN 88-339-1706-1

• Marcus du Sautoy mwaryL'enigma dei numeri primi BUR 2004 ISBN 88-17-00843-5

• mwarsTeoria dei numeri

• mwar0Problemi per il millennio

• mwar8Matrice di Hilbert

• mwaseTrasformata di Hilbert

• mwasmSpazio di Hilbert

• mwasuTeorema degli zeri di Hilbert

• mwascAssiomi di Hilbert

• mwaskTeorema della base di Hilbert

• mwassParadosso del Grand Hotel di Hilbert

• mwas0Teorema di Hilbert

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• citereftreccani-itHilbert, David, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefenciclopedia-italiana-1933HILBERT, David, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1933.

• citerefenciclopedia-italiana-1948HILBERT, David, in Enciclopedia Italiana, II Appendice, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1948.

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• citerefgoodreads(EN) David Hilbert, su Goodreads.